Produto interno e ortogonalidade
(baseado no material disponibilizado pela professora Esmeralda Dias)
Apesar da introdução a álgebra linear ter sido realizada até agora através de sistemas lineares, existe uma diversidade enorme de aplicações geométricas desta área. Podemos por isso, generalizar muitas noções geométricas a qualquer espaço linear, não só a mas a qualquer espaço linear.
Produto interno usual em
O produto interno usual em pode ser definido simplesmente por
Definição
Sejam x, y vetores de
Tal que
e
ou seja,
Produto interno em
O produto interno usual em é em muito similar ao produto em , mas com algumas diferenças.
Segue-se a fórmula deste:
Definição
Sejam x, y vetores de
Tal que
e
ou seja,
Nota:
Verifica-se que se a fórmula do produto interno usual fôr aplicada aos números reais, que se obtém a fórmula do produto interno usual dos números reais pois
Propriedades do Produto Interno
Qualquer que seja o produto interno, este seguirá sempre as seguintes propriedades:
Simetria
(em ) ou (em )
Linearidade
Simetria
e apenas quando
A partir destas características fundamentais podese definir o conceito de espaço Euclidiano.
Espaço Euclidiano
Espaço linear munido de munido de produto interno
Num espaço euclidiano definem-se os seguintes conceitos:
Norma
Distância
dist
Matriz de Gram
Matriz de Gram
Seja um espaço linear real (resp. complexo) munido de um produto interno e uma base ordenada de . A matriz dos produtos internos dos vetores da base é dsignada por matriz de Gram ou matriz da métrica, relativa à base . A matriz verifica:
- é simétrica (respetivamente Hermitiana);
- é definida positiva, isto é, para todo (resp. , para todo ), ou seja, os valores próprios da matriz têm de ser todos positivos.
Em relação à base , o produto interno em escreve-se na forma
onde e são respetivamente, os vetores de coodenadas de e na base .
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Num espaço euclidiano qualquer verifica-se que
Esta desigualdade permite diretamente chegar à noção de ângulo entre vetores.
Ângulo entre vetores
Ortogonalidade
Com todas as noções previamente discutidas, torna-se possível discutir ortogonalidade entre dois vetores.
Definição
Com a definição de ortogonalidade, pode-se concluir que o Teorema de Pitágoras é válido, tal que:
Se então
Definição
Com a ortogonalidade entre vetores definida sai a definição de conjunto ortogonal.
Conjunto Ortogonal
é ortogonal se os vetores de são ortogonais 2 a 2, isto é:
para
De forma muito similar,
Conjunto Ortonormado
é ortonormado se os vetores de são ortogonais 2 a 2 e se a norma de todos os vetores fôr 1, isto é:
Proposição
Um conjunto ortogonal que não contenha o vetor nulo é linearmente independente
Projeção ortogonal
Num espaço lonear munido de um produto interno, a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor não nulo . é definida por
Desigualdade Triangular
Complemento ortogonal
Dois subespaços e dizem-se subespaços complementares se qualquer vetor de se escreve na forma e se a interseção dos subespaços é nula ().
Tendo em conta esta definição,
Pode-se expandir esta noção, criando a noção de
Complemento Ortogonal
Seja um espaço linear munido de um produto intero e um subespaço de O complemento ortogonal de é o conjunto de todos os vetores de que são ortogonais a qualquer vetor de S. Designamos o complemento ortogonal do subespaço por .
Proposição
O complemento ortogonal do subespaço é um subespaço.
Proposição
Seja um subespaço e o seu complemento ortogonal. Verifica-se que:
Tendo em conta que a interseção de um subespaço com o seu complemento ortogonal é o vazio, e tendo em conta que a sua união é o espaço, fica a questão de se qualquer vetor do espaço pode ser decomposto em vetores dos dois espaços. (Sim, e faz-se da seguinte forma)
Teorema da decomposição ortogonal
Seja um espaço euclidiano e um subespaço de . Qualquer vector escreve-se de forma única como a soma de um vetor de com um vetor do complemento ortogonal de . Isto é,
com e
Define-se a projeção ortognal de sobre o subespaço como
Hiperplano
Num espaço linear de dimensão , chama-se hiperplano a um subespaço de dimensão
Teorema da melhor aproximação
Sendo um espaço euclidiano e um subespaço de e um vetor de , então
para qualquer
Distância a um subespaço
Seja um espaço linear, um subespaço de e um vetor de . A distância de a é:
Ortogonalidade dos subespaços fundamentais de uma Matriz
e
Ortogonalização de Gram-Schmidt
Expressar vetores numa base ortornormada é relativamente simples, mas fica a questão de como obter uma tal base, a partir de um conjunto já existente de vetores. Para tal pode-se usar o método de ortogonalização de Gram Schmidt.
Ortogonalização de Gram Schmidt
Seja , com , um conjunto linearmente independente de um espaço euclidiano. O conjutno formado pelos vetores
é ortogonal.
Os conjuntos U e V geram o mesmo espaço.